तिरंगा (राष्ट्रीय ध्वज) की आकृति एवं माप - राष्ट्रीय ध्वज तिरंगे की आकृति आयताकार होती है एवं माप 3ः2 होती है। अर्थात तिरंगे झण्डे की लम्बाई तीन हिस्से एवं चौड़ाई दो हिस्से होती है।

उदाहरण - एक ऐसा आयत बनाइए जिसकी लंबाई 9cm एवं चौड़ाई 6 cm हो। उसे आड़े पट्टियों में तीन समान भाग में बाँटने पर प्रत्येक हिस्सा 1/3 (एक तिहाई) होगा। इन पट्टियों को क्रमशः केसरिया, सफेद एवं हरे रंग में रंग कर बीच में वृत्ताकार नीला चक्र बनाने पर हमारा राष्ट्रध्वज बन जाता है।यहाँ हम देखते हैं पूरे आयताकार ध्वज का 1/3 हिस्सा केसरिया रंग, 1/3 इसका सफेद रंग एवं 1/3 का हरा रंग है।

अफगानिस्तान का झण्डा - चित्र में अफगानिस्तान के झण्डे को देखने पर यह झण्डा खड़ी तीन बराबर पट्टियों में बटा हुआ है। जिसमें काले, लाल और हरे रंग की पट्टियाँ हैं और प्रत्येक पट्टी पूरे ध्वज का 1/3 हिस्सा है।

म्याँमार का झण्डा - यहाँ का झण्डा भी आयताकार है, जिसके अंदर पूरे झण्डे का 1/4 से कम हिस्सा नीला है।

पूरा और हिस्सा - उक्त झण्डों का अवलोकन करने के पश्चात हम देखते हैं की किसी वस्तु या आकृति को एक बराबर भागों में बाँट दिया जाता है तो प्रत्येक भाग उस वस्तु या आकृति का हिस्सा होता है। 

उदाहरण - एक आयताकार वस्तु को पाँच समान भागों में बाँट दे तब-

(१) वस्तु का पहला हिस्सा पूरी वस्तु का 1/5 होगा।

(२) वस्तु के दो हिस्से पूरी वस्तु का 2/5 होगा।

(३) वस्तु के तीन हिस्से पूरी वस्तु का 3/5 होगा।

(४) वस्तु के चार हिस्से पूरी वस्तु का 4/5 होगा।

टीप - (१) हिस्सा को बताने के लिए वस्तु आयताकार, वर्गाकार, त्रिभुजाकार, वृत्ताकार हो तो आसानी से हिस्से बताए जा सकते हैं।

(२) वस्तु या आकृति को एक समान बराबर भागों में बाँटना होता है तब हम हिस्से बता सकते हैं।

अवधारणा -आयताकार आकृति में 1/3, 1/4, 1/5 कितना होता है?

जादुई लट्टू - यह एक ऐसा लगता है जिसे घुमाने पर अलग-अलग रंगों के स्थान पर केवल सफेद रंग दिखाई देता है। इसे तैयार करने के लिए किसी गत्ते के टुकड़े में 3 सेंटीमीटर त्रिज्या का वृत बनाकर उसे 8 बराबर बराबर है हिस्सों (भागों) में बाँटते हैं। प्रत्येक भाग पूरे वृत का 1/8 भाग होगा। इस लड्डू में इंद्रधनुष के सात रंग क्रमशः बैंगनी, जामुनी, नीला, हरा, पीला, नारंगी और लाल रंग से रंग देते हैं। लाल रंग को 2/8 हिस्सा में भरना है एवं शेष रंगों को 1/8, 1/8 हिस्सों में भरना है।

अब यह लट्टू बनकर तैयार हो गया। इसे घुमाओ और जादू देखो। सभी अलग-अलग रंग घुमाने पर गायब हो जाते हैं, केवल सफेद रंग ही दिखाई देता है।

अवधारणा - पूरे वृत्त का 1/8, 2/8 कितना होता है?

अभ्यास करें

1. मंजू के पास एक चॉकलेट थी। उसने एक चौथाई राजी को, एक तिहाई सुगंधा को और छठा भाग शीला को दिया। बाकी हिस्सा उसने खा लिया। हर एक को चॉकलेट के कितने हिस्से मिले बताओ।

 हल - चित्र में जो चकलेट दिखाई गई है उसे कुल 12 बराबर बराबर हिस्सों में बांट दिया गया है। अब 12 हिस्सों में से- राजी को 1 चौथाई अर्थात 12 का 1/4

 = 12×1/4

 =12/4

 = 3

 सुगंधा को 1 तिहाई अर्थात 12 का 1/3

 = 12 ×1/3

 = 12/3

 = 4

 शीला को छटा भाग अर्थात 12 का 1/6

 = 12 ×1/6

 = 12/6

 = 2

 कुल भाग बाँट दिये = 3+4+2 = 9 भाग

 बाकी हिस्सा मन्जू ने खा लिया

 अर्थात 12 - 9 = 3

अवधारणा - (१) चौथाई का अर्थ 4 वस्तुओं में से एक।

(२) तिहाई का अर्थ 3 वस्तुओं में से एक।

(३) छटा का अर्थ है 6 वस्तुओं में से एक।

यदि कुल वस्तुएँ 12 हैं तो -

(१) चौथाई ज्ञात करने पर 12 को 4 से भाग देने पर 3 वस्तुएँ प्राप्त होंगी।

(२) इसी तरह तिहाई ज्ञात करने हेतु 12 में 3 का भाग देना होगा। एवं

(३) छटा हिस्सा ज्ञात करने के लिए 12 में 6 का भाग देना होगा। जैसा कि ऊपर प्रश्न को हल करके बताया गया है।

कहानी 'लालची चौकीदार'

(हिस्सों की समझ)

बीरबल याद है तुम्हें राजा अकबर क चतुर मंत्री? (गणित का जादू पुस्तक 4 पृष्ठ 14 ) क्या तुम्हें पता है वह मंत्री कैसे बना?

तब बीरबल एक गाँव में रहने वाला जवान लड़का था। वह बहुत चतुर था और कविता भी लिखता था। उसने अपनी किस्मत राजा के दरबार में आज़माने की सोची। इसलिए वह अपनी कुछ कविताओं को लेकर शहर की ओर चल दिया। जब वह महल के बाहरी दरवाज़े पर पहुँचा तो चौकीदार ने उसे रोक दिया। "हे! वहीं रुको! कहाँ जा रहे हो?" चौकीदार ने चिल्लाकर कहा। "मैं एक कवि हूँ। मैं राजा अकबर से मिलकर उन्हें अपनी कविताएँ दिखाना चाहता हूँ” कवि ने कहा। “ओह, तुम कवि हो। राजा दयालु हैं, वे तुम्हें कुछ इनाम जरूर देंगे। मैं तुम्हें जाने दूँगा अगर तुम मुझे अपने इनाम का 1/10 हिस्सा दो तो।"

बीरबल के पास कोई और चारा नहीं था इसलिए वह मान गया। जब वह अंदर चला गया तो चौकीदार ने हिसाब लगाया, “ अगर उसे 100 सोने के सिक्के मिले तो मुझे 10 सिक्के मिलेंगे।”

कवि दूसरे दरवाज़े पर पहुँचा। उस दरवाज़े के चौकीदार ने भी कहा, “मैं तुम्हें तभी अंदर जाने दूँगा जब मुझे अपने इनाम का 2/5 हिस्सा दोगे।" कवि मान गया।

खुशी-खुशी चौकीदार ने हिसाब लगाया "कवि को कम से कम 100 सोने के सिक्के मिलेंगे इसलिए मुझे 40 सिक्के मिलेंगे।"

कवि राजा के दरवाज़े तक पहुँचा। वहाँ के चौकीदार ने कहा, “मैं तुम्हें राजा से तभी मिलने दूँगा जब तुम मुझे इनाम का आधा हिस्सा दोगे!" कवि के पास और कोई चारा नहीं था। वह मान गया और अंदर पहुँचा।

चौकीदार ने सोचा, “ आज का दिन बहुत अच्छा है। अगर उसे 100 सोने के सिक्के मिले तो मुझे 50 सिक्के मिलेंगे और अगर उसे 1000 सिक्के मिले तो वाह! मुझे 500 सिक्के मिलेंगे।"

राजा कविताओं से बहुत खुश हुआ और उसने कहा, "तुम्हारी कविताएँ बहुत अच्छी हैं। तुम इनाम के तौर पर कुछ भी माँग सकते हो।"

“महाराज मैं 100 थप्पड़ चाहता हूँ।" "क्या! 100 थप्पड़? राजा हैरान था। "

इसके बाद क्या हुआ होगा? कहानी को पूरा करो। कवि को इनाम का कितना हिस्सा मिला?

आगे की कहानी - 

बीरबल ने बादशाह अकबर को सारी घटना बताई। किस तरह से चौकीदारों में से पहले ने पुरस्कार का 1/10 हिस्सा माँगा है। दूसरे चौकीदार ने पुरस्कार का 2/5 हिस्सा माँगा। इसी तरह से तीसरे चौकीदार ने पुरस्कार का आधा हिस्सा (1/2) भाग माँगा है।

"इस तरह देखा जाए तो मेरे द्वारा प्राप्त पुरस्कार तो सभी चौकीदारों में बँट जाएगा। बीरबल ने बताया। बीरबल आगे बोले-

आलमपनाह ! ऐसे घूसखोर चौकीदारों को सबक सिखाने के लिए जरूरी है कि मुझे 100 थप्पड़ों का ही पुरस्कार प्रदान करते हुए उन चौकीदारों को यह पुरस्कार बाँट दिया जावे।"

बादशाह अकबर ने तीनों चौकीदारों को बुलवाया और उन्हें उनके द्वारा माँगे गए हिस्सों के अनुसार थप्पड़ जड़वाये और उन्हें नौकरी से बर्खास्त कर जेल में डाल दिया।

अवधारणा -

(१) 100 का 1/10

= 100×1/10

=100/10

= 10

(२) 100 का 2/5

= 100×2/5

=200/5

= 40

(३) 100 का आधा (1/2)

= 100×1/2

=100/2

= 50

(४) 1000 का आधा (1/2)

= 1000×1/2

=1000/2

= 500

हिस्सों में पैटर्न

(1) B. C. D ग्रिड के कुछ खानों को रंग कर अलग-अलग पैटर्न बनाओ। तुमने ग्रिड का कितना हिस्सा रंगा है? ग्रिड का कितना हिस्सा सफेद रहा? लिखो।

(2) ग्रिड A को फिर से देखो। क्या ग्रिड में भरा हुआ रंग -

(क) ½ नीला, ½ सफ़ेद?

(ख) 2/4नीला, 2/4सफेद?

(ग) 3/8 नीला, 5/8सफ़ेद? (X)

(घ) 4/8 नीला, 4/8 सफ़ेद?

गलत उत्तर पर निशान (X) लगाओ।

 (3) 16 खानों की अपनी ग्रिड बनाओ और ऐसे पैटर्न बनाओ जिनमें

(क) 2/8 लाल, 1/2 पीला, 1/4 हरा हो।

(ख) 3/16 नीला, 5/16 लाल, 1/2 पीला हो।

रामू का सब्जियों का खेत

रामू के सब्ज़ियों के खेत के 9 बराबर हिस्से हैं। वह अपने खेत में कौन सी सब्ज़ियाँ उगा रहा है?

(1) खेत के सबसे बड़े हिस्से में वह कौन सी सब्ज़ी उगा रहा है? कितना हिस्सा?

उत्तर -टमाटर, 3/9 या 1/3 हिस्सा।

(2) कितने हिस्से में वह आलू उगा रहा है?

उत्तर - 2/9

(3) कितना हिस्सा पालक उगाने के लिए उपयोग किया गया? कितना हिस्सा बैंगन उगाने के लिए उपयोग किया गया?

उत्तर - पालक हेतु 1/9 हिस्सा तथा बैंगन हेतु  2/9 हिस्सा।

(4) अब तुम इस चित्र को देखकर कुछ प्रश्न लिखो।

प्रश्न (अ) - कौन-कौन सी सब्जियाँ बराबर हिस्सों में बोई गई हैं? और कितने हिस्से में बोई गई हैं?

उत्तर - बैंगन और आलू बराबर हिस्सों 2/9, 2/9 मैं वही गई है इसी तरह मिर्च और पालक भी बराबर हिस्सों 1/9, 1/9 में बोई गई हैं।

प्रश्न (ब) - मिर्च की तुलना में टमाटर कितने ज्यादा हिस्से में बोया गया है?

उत्तर - मिर्च की तुलना में टमाटर 2 हिस्से ज्यादा बोया गया है।